Что такое: линейная регрессия ЛЕГКО ИЗУЧАЙТЕ СТАТИСТИКУ

Во-вторых, остатки или различия между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями должны быть нормально распределены. Кроме того, решающее значение имеет гомоскедастичность, а это означает, что дисперсия остатков должна оставаться постоянной на всех уровнях независимой переменной (переменных). Наконец, между независимыми переменными не должно быть мультиколлинеарности, поскольку это может исказить результаты и затруднить определение индивидуального эффекта каждого предиктора. Несмотря на широкое распространение, линейная регрессия имеет несколько ограничений, которые аналитикам следует учитывать. Одним из существенных ограничений является его чувствительность к выбросам, которые могут непропорционально влиять на наклон линии регрессии и приводить к ошибочным результатам.

Допущения о линейной регрессии

Свойство быть «чашеобразной» называется выпуклостью, и это ценное свойство в многопараметрической оптимизации. Выпуклая функция потерь гарантирует, что у нас есть глобальный минимум (нижняя часть чаши), и что все дороги под гору ведут к нему. Увы, обычный МНК не используют для оптимизации нейронных сетей, поэтому решение линейной регрессии будет оставлено как упражнение, оставленное читателю. Причина, по которой линейную регрессию не используют, заключается в том, что нейронные сети нелинейны.

Численные методы

В маркетинге компании часто используют линейную регрессию для понимания поведения потребителей и прогнозирования продаж на основе расходов на рекламу и других переменных. Универсальность линейной регрессии делает ее бесценным инструментом для анализ данных и принятия решений во многих отраслях промышленности. Визуализация результатов линейного регрессионного анализа имеет решающее значение для эффективной интерпретации модели и передачи результатов. Диаграммы рассеяния обычно используются для отображения взаимосвязи между независимыми и зависимыми переменными с наложенной линией регрессии для иллюстрации прогнозируемых значений. Кроме того, графики остатков можно использовать для оценки допущений линейной регрессии, таких как гомоскедастичность и нормальность остатков. Визуализируя эти аспекты, аналитики могут получить представление о производительности модели и выявить любые потенциальные проблемы, которые, возможно, потребуется решить.

То есть, мы найдём x для каждого уравнения и сравним их между собой. Чем он выше, тем лучше наша модель объясняет изменчивость зависимой переменной. Однако у нас много комбинаций, поэтому нам нужно сравнить линии (шаг 3) и найти такую, которая бы одновременно минимизировала разницу в предсказанных и фактических значениях для всех комбинацией значений.

Google представила Gemini 2.5 Flash Image aka Nano Banana — новую модель генерации изображений

Линейная модель может быть как с константой, так и без константы. Тогда в этом представлении первый фактор либо равен единице, либо является обычным фактором соответственно. Различие между линейными уравнениями, которые мы составили, и нейронной сетью — функция активации (например, сигмоида, tanh, ReLU или других). Рассмотрим приведенный ниже рисунок, который использует две визуализации средней квадратичной ошибки в диапазоне, где наклон m находится между -2 и 4, а b между -6 и 8.

Поскольку мы пытаемся минимизировать MSE, наша цель — выяснить, где находится самая низкая точка в чаше. Одна очень распространенная функция потерь называется средней квадратичной ошибкой (MSE). Чтобы вычислить MSE, мы просто берем все значения ошибок, считаем их квадраты длин и усредняем. Мы считаем, что между независимой и зависимой переменной приближенно есть линейная связь, которую мы можем зафиксировать. Если это не так, то наша модель будет отражать связь между данными неточно. Распространенный подход — обычный метод наименьших квадратов, который решает его аналитически.

Визуализация данных

Но она может быть, и чтобы убедиться в этом, нужно построить линейную регрессию. Это значение, которое принимает y в том случае, если x равен нулю. В этом нам поможет уравнение линейной функции (привет, шестой класс). Статистические тесты, о которых мы говорили до этого (T-тест, ANOVA и другие) в основном проверяли связь не больше, чем между двумя переменными одновременно. Довольно очевидно, что первые две линии не соответствуют нашим данным. Формально нам нужно выразить, насколько хорошо подходит линия, и мы можем это сделать, определив функцию потерь.

• После подгонки модели с использованием обучающих данных можно сделать прогнозы на проверочном наборе и рассчитать метрики оценки для оценки производительности модели.
• Линейная регрессия остается краеугольным камнем статистического анализа и науки о данных, обеспечивая надежную основу для понимания взаимосвязей между переменными и составления прогнозов.
• Универсальность линейной регрессии делает ее бесценным инструментом для анализ данных и принятия решений во многих отраслях промышленности.
• Сделать это одновременно невозможно (у нас может быть тысяча точек на графике), и нам нужен компромисс.

Общие метрики, используемые для этой цели, включают R-квадрат, скорректированный R-квадрат, среднюю абсолютную ошибку (MAE) и среднеквадратическую ошибку (RMSE). R-квадрат измеряет долю дисперсии зависимой переменной, которую можно объяснить независимыми переменными, что дает представление об объяснительной силе модели. Скорректированный R-квадрат корректирует значение R-квадрата на основе количества предикторов в модели, предлагая более точную оценку, когда задействовано несколько переменных. 🔍 Дисперсия остатков регрессии — сумма квадратов разниц между фактическими и предсказанными линейной регрессией значениями зависимой переменной. Линейная регрессия широко используется в различных областях для различных приложений. В финансах ее можно использовать для прогнозирования цен на акции на основе исторических данных и экономических показателей.

• Если мы построим MSE линейной регрессии для другого датасета, то получим аналогичную форму.
• Визуализация результатов линейного регрессионного анализа имеет решающее значение для эффективной интерпретации модели и передачи результатов.
• Линейная модель может быть как с константой, так и без константы.
• Статистические тесты, о которых мы говорили до этого (T-тест, ANOVA и другие) в основном проверяли связь не больше, чем между двумя переменными одновременно.
• Остатки должны иметь постоянную дисперсию на каждом уровне независимой переменной.

Реализация линейной регрессии в Питон является простым, благодаря таким библиотекам, как Scikit-learn и Statsmodels. Scikit-learn предоставляет удобный интерфейс для построения и оценки моделей линейной регрессии. Для начала можно импортировать необходимые библиотеки, загрузить набор данных и разделить его на обучающий и проверочный наборы. После подгонки модели с использованием обучающих данных можно сделать прогнозы на проверочном наборе и рассчитать метрики оценки для оценки производительности модели. Statsmodels, с другой стороны, предлагает более подробный статистический вывод, включая коэффициенты, p-значения и доверительные интервалы, что позволяет глубже понять взаимосвязи между переменными. Линейная регрессия остается краеугольным камнем статистического анализа и науки о данных, обеспечивая надежную основу для понимания взаимосвязей между переменными и составления прогнозов.

Модель затрат организации (без указания случайной ошибки)

Линейная регрессия относится к задаче определения «линии наилучшего соответствия» через набор точек данных и стала простым предшественником нелинейных методов, которые используют для обучения нейронных сетей. Отбор наблюдений в выборку должен быть случайным, сами наблюдения никак не должны влиять друг на друга и быть независимыми. Наличие зависимости опять же делает значения параметров нестабильными и приводит к тому, что модель не может описать все данные в целом. Собственно, эта линия и есть линейная регрессия — описание соответствия между случайными переменными.

Функция потерь — метод наименьших квадратов

Сделать это одновременно невозможно (у нас может быть тысяча точек на графике), и линейная регрессия это нам нужен компромисс. В данном случае он заключается в минимизации (отсюда слово наименьший в заголовке!) суммы всех значений. Переменные, которые добавлены в модель, не должны быть мультиколлинеарными. То есть независимые переменные не должны быть взаимосвязаны между собой. 🔍 Коэффициент детерминации — доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью.

Но, вводя нелинейность, мы теряем это удобство ради того, чтобы дать нейронным сетям гораздо большую «гибкость» при моделировании произвольных функций. Цена, которую мы платим, заключается в том, что больше нет простого способа найти минимум за один шаг аналитически. В этом случае мы вынуждены использовать многошаговый численный метод, чтобы прийти к решению. Хотя существует несколько альтернативных подходов, градиентный спуск остается самым популярным методом. Без вариации мы не можем показать связь между изменениями двух переменных. Если одна или две из них не меняются, то модель не будет содержательно полезной, так как просто не сможет зафиксировать изменения.

Далее мы разберём это решение подробнее и расскажем, как вычислить линейную регрессию. Линейная регрессия (Linear regression) — модель зависимости переменной x от одной или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) с линейной функцией зависимости. 🔍 Мультиколлинеарность — наличие линейной зависимости между независимыми переменными. Глядя на два графика, мы видим, что наш MSE имеет форму удлиненной чаши, которая, по-видимому, сглаживается в овале, грубо центрированном по окрестности (m, p) ≈ (0.5, 1.0). Если мы построим MSE линейной регрессии для другого датасета, то получим аналогичную форму.

Когда есть только один или два параметра для решения, это может быть сделано вручную, и его обычно преподают во вводном курсе по статистике или линейной алгебре. Не должно быть существенных переменных, которые при этом не включены в модель. Они могут оказывать значительное влияние на переменные, которые учтены в модели, что опять же делает результаты нестабильным. Мультиколлинеарность приводит к неустойчивости коэффициентов модели. Конкретные результаты могут сильно различаться в зависимости от выборок, что делает модель неспособной пройти проверку на другой выборке из той же генеральной совокупности. Проще говоря, оказывается, что модель, которая может казаться точной, на самом деле оказывается неверной.